专题51 新定义和阅读理解型问题（压轴题）

（2014年福建龙岩4分）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x²+1，﹣x}的最大值是（  ）

A．

B．

C．

D．

（2014年广西贺州3分）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（）；当矩形成为正方形时，就有x=（x＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（）=4最小，因此（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（  ）

（2014年黑龙江大庆3分）对坐标平面内不同两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），用|AB|表示A、B两点间的距离（即线段AB的长度），用║AB║表示A、B两点间的格距，定义A、B两点间的格距为║AB║=|x₁﹣x₂|+|y₁﹣y₂|，则|AB|与║AB║的大小关系为（  ）
A．|AB|≥║AB║       B．|AB|＞║AB║       C．|AB|≤║AB║      D．|AB|＜║AB║

（2014年湖南常德3分）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（  ）

A．（60°，4）

B．（45°，4）

C．

D．

（2014年湖南永州3分）在求1+6²+6³+6⁴+6⁵+6⁶+6⁷+6⁸+6⁹的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：
S=1+6+6²+6³+6⁴+6⁵+6⁶+6⁷+6⁸+6⁹①
然后在①式的两边都乘以6，得：
6S=6+6²+6³+6⁴+6⁵+6⁶+6⁷+6⁸+6⁹+6¹⁰②
②﹣①得6S﹣S=6¹⁰﹣1，即5S=6¹⁰﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的小林想：
如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a²+a³+a⁴+…+a²⁰¹⁴的值？你的答案是（  ）

A．

B．

C．

D．

（2014年江苏泰州3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（  ）

A．1，2，3

B．

C．

D．

（2013年四川绵阳3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式A_M=（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A₇=（2，3），则A₂₀₁₃=（  ）

（2013年山东潍坊3分）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如，，，若，则x的取值可以是（  ）

（2012广西钦州3分）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换：
①f（x，y）=（y，x）．如f（2，3）=（3，2）；
②g（x，y）=（﹣x，﹣y），如g（2，3）=（﹣2，﹣3）．
按照以上变换有：f（g（2，3））=f（﹣2，﹣3）=（﹣3，﹣2），那么g（f（﹣6，7））等于（  ）

（2014年甘肃兰州4分）为了求1+2+2²+2³+…+2¹⁰⁰的值，可令S=1+2+2²+2³+…+2¹⁰⁰，则2S=2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰¹，因此2S﹣S=2¹⁰¹﹣1，所以S=2¹⁰¹﹣1，即1+2+2²+2³+…+2¹⁰⁰=2¹⁰¹﹣1，仿照以上推理计算1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁴的值是        ．

（2014年贵州黔西南3分）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下两种变换：
（1）f（m，n）=（m，﹣n），如f（2，1）=（2，﹣1）；
（2）g（m，n）=（﹣m，﹣n），如g （2，1）=（﹣2，﹣1）
按照以上变换有：f[g（3，4）]=f（﹣3，﹣4）=（﹣3，4），那么g[f（﹣3，2）]=        ．

（2014年山东临沂3分）一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的．如一组数1，1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A={1，2，3，4}．类比实数有加法运算，集合也可以“相加”．定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A+B．若A={﹣2，0，1，5，7}，B={﹣3，0，1，3，5}，则A+B=        ．

（2014年四川甘孜4分）如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为        ．

（2014年四川乐山3分）对于平面直角坐标系中任意两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），称|x₁﹣x₂|+|y₁﹣y₂|为P₁、P₂两点的直角距离，记作：d（P₁，P₂）．若P₀（x₀，y₀）是一定点，Q（x，y）是直线y=kx+b上的一动点，称d（P₀，Q）的最小值为P₀到直线y=kx+b的直角距离．令P₀（2，﹣3）．O为坐标原点．则：
（1）d（O，P₀）=        ；
（2）若P（a，﹣3）到直线y=x+1的直角距离为6，则a=        ．

（2014年四川宜宾3分）规定：sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny．
据此判断下列等式成立的是        （写出所有正确的序号）
①cos（﹣60°）=；
②sin75°=；
③sin2x=2sinx•cosx；
④sin（x﹣y）=sinx•cosy﹣cosx•siny．

（2014年北京市4分）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为（3，1），则点的坐标为        ，点的坐标为        ；若点的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点均在x轴上方，则a，b应满足的条件为        ．

（2014年新疆区、兵团5分）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3．69]=3．，按此规定，=        ．

（2013年山东临沂3分）对于实数a，b，定义运算“﹡”：．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=4²﹣4×2=8．若x₁，x₂是一元二次方程x²﹣5x+6=0的两个根，则x₁﹡x₂=      ．

（2013福建龙岩3分）对于任意非零实数a、b，定义运算“”，使下列式子成立：，，，，…，则ab=    ．

（2012福建南平3分）设[x）表示大于x的最小整数，如[3）=4，[－1．2）=－1，
则下列结论中正确的是      ．（填写所有正确结论的序号）
①[0）=0；②[x）－x的最小值是0；③[x）－x的最大值是0；④存在实数x，使[x）－x=0．5成立．

（2012福建泉州4分）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P(),(为自然数)．
（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（）、P（）都是过点P的△ABC的相似线（其中⊥BC，∥AC），此外还有        _条． 
（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当        时，P()截得的三角形面积为△ABC面积的．

（2012湖南常德3分）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如： []=0，[3．14]=3。按此规定 []的值为        。

（2014年福建漳州12分）阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）
（1）【理解与应用】
如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为        ．
（2）【类比与推理】
如图3，矩形ABCD的对角线AC， BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的值；
（3）【拓展与延伸】
如图4，⊙O的半径为4，A，B，C， D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

（2014年福建漳州14分）已知抛物线l：y=ax²+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．
（1）如图，抛物线y=x²﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是        ，衍生直线的解析式是        ；
（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x²+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；
（3）如图，设（1）中的抛物线y=x²﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（年甘肃兰州10分）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．

①求证：△BCE是等边三角形；
②求证：DC²+BC²=AC²，即四边形ABCD是勾股四边形．

（年广西柳州12分）已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（﹣1，），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在﹣1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范围；（不必说明理由）
（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．
（注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）
附：阅读材料
任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．
即：设一元二次方程ax²+bx+c=0的两根为x₁，x₂，
则：
能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．
例：不解方程，求方程x²﹣3x=15两根的和与积．
解：原方程变为：x²﹣3x﹣15=0
∵一元二次方程的根与系数有关系：
∴原方程两根之和=，两根之积=．

（年贵州六盘水14分）为践行党的群众路线，六盘水市教育局开展了大量的教育教学实践活动，如图是其中一次“测量旗杆高度”的活动场景抽象出的平面几何图形．
活动中测得的数据如下：
①小明的身高DC=1．5m
②小明的影长CE=1．7cm
③小明的脚到旗杆底部的距离BC=9cm
④旗杆的影长BF=7．6m
⑤从D点看A点的仰角为30°
请选择你需要的数据，求出旗杆的高度．（计算结果保留到0．1，参考数据，）

（年贵州黔西南12分）已知点P（x₀，y₀）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式计算．
例如：求点P（﹣2，1）到直线y=x+1的距离．
解：因为直线y=x+1可变形为x﹣y+1=0，其中k=1，b=1．
所以点P（﹣2，1）到直线y=x+1的距离为．
根据以上材料，求：
（1）点P（1，1）到直线y=3x﹣2的距离，并说明点P与直线的位置关系；
（2）点P（2，﹣1）到直线y=2x﹣1的距离；
（3）已知直线y=﹣x+1与y=﹣x+3平行，求这两条直线的距离．

（年湖北黄石10分）如图，在矩形ABCD中，把点D沿AE对折，使点D落在OC上的F点，已知AO=8．AD=10．
（1）求F点的坐标；
（2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过点O，F，且直线y=6x﹣36是该抛物线的切线，求抛物线的解析式；
（3）直线与（2）中的抛物线交于P、Q两点，点B的坐标为（3，），求证：为定值．（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则M，N两点间的距离为|MN|=）．

（2014年吉林省10分）如图①，直线l：y=mx+n（m＞0，n＜0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．
（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为        ；若P：y=﹣x²﹣3x+4，则l表示的函数解析式为        ．
（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；
（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．

（2014年江西抚州10分）如图，抛物线y=ax²+2ax（a＜0）位于x轴上方的图象记为F₁，它与x轴交于P₁、O两点，图象F₂与F₁关于原点O对称，F₂与x轴的另一个交点为P₂，将F₁与F₂同时沿x轴向右平移P₁P₂的长度即可得到F₃与F₄；再将F₃与F₄同时沿x轴向右平移P₁2_P的长度即可得到F₅与F₆；…；按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F₁，F₂，…，F_n．我们把这组图象称为“波浪抛物线”．
（1）当a=﹣1时，①求图象F₁的顶点坐标；②点H（2014，﹣3）        （填“在”或“不在”）该“波浪抛物线”上；若图象F_n的顶点T_n的横坐标为201，则图象F_n对应的解析式为        ，其自变量x的取值范围为        ．
（2）设图象F_n、F_n+1的顶点分别为T_n、T_n+1（m为正整数），x轴上一点Q的坐标为（12，0）．试探究：当a为何值时，以O、T_n、T_n+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m的值．

（2014年江西抚州10分）【试题背景】
已知：l∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d₁、d₂、d₃，且d₁=d₃=1，d₂=2．我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．

【探究1】
（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BE⊥l于点E，BE的反向延长线交直线k于点F，求正方形ABCD的边长．
【探究2】
（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，则矩形ABCD的宽为        ．（直接写出结果即可）
【探究3】
如图2，菱形ABCD为“格线四边形”且∠ADC=60°，△AEF是等边三角形，AE⊥k于点E，∠AFD=90°，直线DF分别交直线l、k于点G、点M．求证：EC=DF．
【拓展】
（4）如图3，l∥k，等边△ABC的顶点A、B分别落在直线l、k上，AB⊥k于点B，且AB=4，∠ACD=90°，直线CD分别交直线l、k于点G、点M、点D、点E分别是线段GM、BM上的动点，且始终保持AD=AE，DH⊥l于点H．
猜想：DH在什么范围内，BC∥DE？并说明此时BC∥DE的理由．

（2014年江西南昌12分）如图1，抛物线的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高．

（1）抛物线对应的碟宽为        ；抛物线对应的碟宽为        ；抛物线（a>0）对应的碟宽为        ；抛物线对应的碟宽        ；
（2）若抛物线对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；
（3）将抛物线的对应准蝶形记为F_n（n=1,2,3，…），定义F₁，F₂，…．．F_n为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若F_n与F_n-1的相似比为，且F_n的碟顶是F_n-1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y₁，其对应的准蝶形记为F₁．
①求抛物线y₂的表达式
② 若F₁的碟高为h₁,F₂的碟高为h₂，…F_n的碟高为h_n。则h_n=        ,F_n的碟宽右端点横坐标为        ；F₁，F₂，…．F_n的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出改直线的表达式；若不是，请说明理由．