如图，抛物线顶点 $P(1,4)$，与 $y$轴交于点 $C(0,3)$，与 $x$轴交于点 $A$， $B$．

（1）求抛物线的解析式．

（2） $Q$是抛物线上除点 $P$外一点， $\mathit{\Delta BCQ}$与 $\mathit{\Delta BCP}$的面积相等，求点 $Q$的坐标．

（3）若 $M$， $N$为抛物线上两个动点，分别过点 $M$， $N$作直线 $\mathit{BC}$的垂线段，垂足分别为 $D$， $E$．是否存在点 $M$， $N$使四边形 $\mathit{MNED}$为正方形？如果存在，求正方形 $\mathit{MNED}$的边长；如果不存在，请说明理由．